直线l：y=ax+1与双曲线C：3x2-y2=1相交于A，B两点．
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解题思路：（1）把直线l的方程与双曲线的方程联立消去y，根据判别式大于0求得a的范围，根据OA⊥OB，推断出y1y2=-x1x2．根据韦达定理表示出x1x2．进而根据直线方程表示出y1y2，代入y1y2=-x1x2．求得a．
（2）假设这样的点A，B存在，进而可知直线l的斜率，把AB的中点代入直线y=[1/2]x中求得y1+y2和x1+x2的关系，进而根据（1）中的韦达定理表示出x1+x2，联立方程求得a，看结果是否与a=-2矛盾即可．
（1）联立方程ax+1=y与3x2-y2=1，消去y得：（3-a2）x2-2ax-2=0（*）
又直线与双曲线相交于A，B两点，3-a2≠0，所以a≠±
3，∴△＞0⇒−
6＜a＜
6．
又依题OA⊥OB，令A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则y1y2=-x1x2．
且y1y2=（ax1+1）（ax2+1）=a2x1x2+a（x1+x2）+1=-x1x2⇒x1x2（1+a2）+a（x1+x2）+1=0，而由方程（*）知：x1+x2＝
2a
3−a2，x1x2＝
2
a2−3代入上式得−
2(a1+1)
3−a2+
2a2
3−a2+1＝0⇒a2＝1⇒a＝±1．满足条件．
（2）假设这样的点A，B存在，则l：y=ax+1斜率a=-2．又AB中点(
x1+x2
2，
y1+y2
2)在y＝
1
2x上，则y1+y2＝
1
2(x1+x2)，
又y1+y2=a（x1+x2）+2，
代入上式知
2a(x1+x2)+4＝x1+x2
又x1+x2＝
2a
3−a2⇒a＝6这与a=-2矛盾．
故这样的实数a不存在．
点评：
本题考点： 双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题．
考点点评： 本题主要考查了双曲线的简单性质，直线与双曲线的位置关系．考查了学生综合分析问题和推理的能力，基本的运算能力．
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