解题思路：（1）将y=ax+1代入方程3x2-y2=1，得（a2-3）x2+2ax+2=0，由题意知a2-3≠0，且△=4a2+8（3-a2）＞0，由此能求出a的取值范围．
（2）设交点为A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-[2a
a
2
−3
，x1x2=
2
a
2
−3
，y1y2=（ax1+1）（ax2+1）=a2•x1x2+a（x1+x2）+1=1，由已知得OA⊥OB，由此求出a=±1．
（3）若A、B两点关于直线y=
1/2]x对称，则直线y=[1/2]x垂直AB，且AO=BO，由此能推导出存在实数a，使A、B两点关于直线y=[1/2]x对称．
（1）将y=ax+1代入方程3x2-y2=1，得
3x2-（ax+1）2=1，整理，
（a2-3）x2+2ax+2=0，
∵直线y=ax+1与双曲线3x2-y2=1交于A、B点，
∴a2-3≠0，且△=4a2+8（3-a2）＞0，得：a2＜6，且a≠±
3，
∴a的取值范围是{a||-
6＜a＜
6，且a≠±
3}．
（2）设交点为A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1+x2=-[2a
a2−3，x1x2=
2
a2−3，
∴y1y2=（ax1+1）（ax2+1）=a2•x1x2+a（x1+x2）+1=1
∵以AB为直径的圆过坐标原点∴OA⊥OB，
故OA与OB的斜率的乘积为-1．
∴x1x2=-y1y2，即
2
a2−3=-1，
解得a=±1．
（3）若A、B两点关于直线y=
1/2]x对称，
则直线y=[1/2]x垂直AB，且AO=BO，
由直线y=[1/2]x垂直AB得出a=-2，
∴x1x2=2，x1+x2=4，
y1y2=1，y1+y2=-6，
∴AB中点为（2，-3），且不在y=[1/2]x上，
所以a=-2不成立，
综上：不存在实数a，使A、B两点关于直线y=[1/2]x对称．
点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．
考点点评： 本题考查实数的取值范围的求法，考查实数值的求法，考查满足条件的实数是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．
1年前
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