如图，O，H分别是锐角△ABC的外心和垂心，D是BC边上的中点．由H向∠A及其外角平分线作垂线，垂足分别是E，F．求证：
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解题思路：根据AE平分∠BAC，M为
BC
的中点，可证A、E、M三点共线，根据已知证明EG∥OA，DG∥OA，可证D、E、G三点共线，而F在EG上，故可证D、E、F三点共线．
证明：如图，连接OA、OD，并延长OD交⊙O于M，
则OD⊥BC，
BM＝
CM，
∴A、E、M三点共线，
又AE、AF是∠A及其外角平分线，
∴AE⊥AF，
∵HE⊥AE，HF⊥AF，
∴四边形AEHF为平行四边形，
∴AH与EF互相平分，设其交点为G，
于是，AG=[1/2]AH=[1/2]EF=EG，
∵OA=OM，OD∥AH，
∴∠OAM=∠OMA=∠MAG=∠GAE，
∴EG∥OA ①
又O、H分别是△ABC的外心和垂心，且OD⊥BC，
∴OD=[1/2]AH=AG，
∴四边形AODG为平行四边形，
∴DG∥OA，②
由①②可知，D、E、G三点共线，
而F在EG上，
∴D、E、F三点共线．
点评：
本题考点： 三角形的外接圆与外心；角平分线的性质；平行四边形的判定与性质．
考点点评： 本题考查了三角形外接圆的性质在证明三点共线问题中的运用．关键是利用平行线，圆周角定理，垂径定理证明三点共线．
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