如图：在△ABC中，∠A=α，△ABC的内角或外角平分线交于点P，且∠P=β，试探求图1，2，3中α与β的关系，并选择你
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解题思路：（1）可以把∠A=α，作为已知，求∠P即可．根据三角形内角和定理以及外角的性质即可求解；
（2）（3）解法相同．
（1）β=90°+[1/2]α；（2）β=[1/2]α；（3）β=90°-[1/2]α．
下面选择（1）进行证明．
在图（1）中，根据三角形内角和定理可得：∠ABC+∠ACB=180°-∠A．
∵BP与CP是△ABC的角平分线，
∴∠PBC=[1/2]∠ABC，∠PCB=[1/2]∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB=[1/2]（∠ABC+∠ACB）=90°-[1/2]α．
在△PBC中，∠BPC=180°-（∠PCB+∠PCB）=180°-（90°-[1/2]α）=90°+[1/2]α．
∴β=90°+[1/2]α．图（2），结论：∠BPC=[1/2]∠A．
证明如下：
∠P=∠1-∠2=[1/2]（∠ACD-∠ABC）=[1/2]∠A．
∴β=[1/2]α；
（3）∵BP、CP分别是△ABC两个外角∠CBD和∠BCE的平分线，
∴∠CBP=[1/2]（∠A+∠ACB），∠BCP=[1/2]（∠A+∠ABC），
∴∠BPC=180°-∠CBP-∠BCP=180°-∠A-[1/2]（∠ABC+∠ACB），
∴∠P与∠A的关系是：∠P=180°-∠A-[1/2]（∠ABC+∠ACB）=90°-[1/2]α，
即β=90°-[1/2]α．
点评：
本题考点： 三角形的外角性质；三角形内角和定理．
考点点评： 本题主要考查了三角形的内角和定理以及三角形的角平分线的定义．
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