（2014•安徽模拟）若关于x的不等式a（x2+x+4）≥|x|对任意实数x都成立，则实数a的取值范围是[[1/3，+∞
1个回答
解题思路：易判断x2+x+4＞0，从而原不等式可化为a≥
|x|
x
2
+x+4
⇒a≥
(
|x|
x
2
+x+4
)
max
，分x=0、x＞0、x＜0三种情况进行讨论，可分别求得a的范围，最后对a取交集．
∵x2+x+4=(x+
1
2)2+
15
4]＞0，
∴由a（x2+x+4）≥|x|，得
a≥
|x|
x2+x+4⇒a≥(
|x|
x2+x+4)max，
当x=0时，
|x|
x2+x+4=0，此时只需a≥0；
当x＞0时，
|x|
x2+x+4=[1
x+
4/x+1]≤
1
2
x•
4
x+1=[1/5]，当且仅当x=2时取等号，
此时a≥
1
5；
当x＜0时，
|x|
x2+x+4=[1
−x−
4/x−1]≤
1
2
(−x)•
4
−x−1=[1/3]，当且仅当x=-2时取等号，
此时a≥
1
3；
综上，a≥
1
3．
故答案为：[[1/3]，+∞）．
点评：
本题考点： 函数恒成立问题．
考点点评： 本题考查恒成立问题，考查利用基本不等式求函数的最值，考查转化思想、分类讨论思想，注意不等式求最值的条件：一正、二定、三相等．
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