已知曲线f（x）=[axx2+2
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解题思路：求导函数，利用曲线在x=1处的切线斜率为[1/9]，求出a的值，进而可得函数的递增区间，结合函数f（x）在区间（m，m+1）上为增函数，即可求实数m的取值范围．

求导函数可得f′（x）=

−ax2+2

(x2+2)2

∵曲线f（x）=[ax

x2+2在x=1处的切线斜率为

1/9]，

∴

−a+2

(12+2)2=[1/9]，∴a=1

∴f′（x）=

−x2+2

(x2+2)2

由f′（x）＞0可得(−

2，

2)

∵函数f（x）在区间（m，m+1）上为增函数，

∴

m≥−

2

m+1≤

2

∴−

2≤m≤

2−1

∴实数m的取值范围是−

2≤m≤

2−1

故答案为：−

2≤m≤

2−1

点评：

本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，属于中档题．

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