已知函数g（x）=[1/2]mx2-2x+l+ln（x+l）（m≥1）．

已知函数g（x）=[1/2]mx2-2x+l+ln（x+l）（m≥1）．

（1）若曲线C：y=g（x）在点P（0，1）处的切线l与曲线C有且只有一个公共点，求m的值；

（2）求证：函数g（x）存在单凋减区间[a，b]；

（3）若c=b-a，求c的取值范围．

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解题思路：（1）利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而求出切线的方程，由切线l与曲线C有且只有一个公共点，转化为二者的方程联立的方程组有且只有一个解0，再利用导数即可得出；

（2）函数g（x）存在单凋减区间[a，b]⇔g′（x）＜0，再由m≥1，x＞-1，利用二次函数的性质即可证明；

（3）利用（2）的结论及一元二次方程的根与系数的关系及不等式的性质即可求出．

（1）∵函数g（x）=[1/2]mx2-2x+1+ln（x+1）（m≥1），定义域为（-1，+∞）．

∴g′(x)＝mx−2+

1

x+1，∴g′（0）=-2+1=-1．

∴切线l的方程为：y-1=-x，即y=-x+1，

∵切线l与曲线C有且只有一个公共点，

∴[1/2]mx2-2x+1+ln（x+1）=-x+1有且只有一个解0．

令h（x）=[1/2mx2−x+ln(x+1)，

则h′（x）=mx-1+

1

x+1]=

mx[x−(

1

m−1)]

x+1，

①当m=1时，h′(x)＝

mx2

x+1≥0，h（x）在（-1，+∞）上单调递增，满足有且只有一个解0．

②当m＞1时，(

1

m−1)∈(−1，0)，令h′（x）=0，解得x=0或[1/m−1．

列表如下：

由表格画出图象：

当x→-1时，h（x）→-∞，h(

1

m−1)＞h(0)＝0，故在区间(−1，

1

m−1)内还有一个交点，

即方程h（x）=0由两个实数根，与已知有且仅有一个解矛盾，应舍去．

综上可知：只有m=1满足题意．

（2）由g′(x)＝mx−2+

1

x+1]=

mx2+(m−2)x−1

x+1＜0（x＞-1）⇔mx2+（m-2）x-1＜0．

令f（x）=mx2+（m-2）x-1（x＞-1，m≥1）．

则△=（m-2）2+4m=m2+4＞0，且其对称轴x=−

m−2

2m=[1/m−

1

2]＞-1，

f（-1）=1＞0，

∴函数f（x）在（-1，+∞）上必有两个不等实数根a=

(2−m)−

m2+4

2m，b=

(2−m)+

点评：

本题考点： 利用导数研究函数的单调性；函数的零点．

考点点评： 熟练掌握利用导数研究函数的性质及“三个二次”的关系是解题的关键．

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