（2011•河南模拟）已知函数f（x）=ex+2x2-3x．
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解题思路：（1）先求f′（0）与f′（1），看两值是否异号，然后证明f′（x）在[0，1]上单调性，即可证明函数f（x）在区间[0，1]上存在唯一的极值点；
（2）将参数a分离出来，得到
a≤
e
x
−
1
2
x
2
−1
x
在[[1/2]，+∞）上恒成立，然后利用导数研究不等式右边的函数在[[1/2]，+∞）上的最小值即可．
（1）∵f′（0）=e0-3=-2＜0，f′（1）=e+1＞0，
∴f′（0）•f′（1）＜0，
令h（x）=f′（x）=ex+4x-3，则h′（x）=ex+4＞0，
∴f′（x）在[0，1]上单调递增，∴f′（x）在[0，1]上存在唯一零点，
∴f（x）在[0，1]上存在唯一的极值点
（2）由 f(x)≥
5
2x2+(a−3)x+1，
得 ex+2x2−3x≥
5
2x2+(a−3)x+1，
即 ax≤ex−
1
2x2−1，
∵x≥
1
2，∴a≤
ex−
1
2x2−1
x，
令 g(x)＝
ex−
1
2x2−1
x，则 g′(x)＝
ex(x−1)−
1
2x2+1
x2，
令 ϕ(x)＝ex(x−1)−
1
2x2+1，则ϕ'（x）=x（ex-1）
∵x≥
1
2，∴ϕ'（x）＞0，∴ϕ（x）在 [
1
2，+∞)上单调递增，
∴ϕ(x)≥ϕ(
1
2)＝
7
8−
1
2
e＞0，
因此g'（x）＞0，故g（x）在 [
1
2，+∞)上单调递增，
则 g(x)≥g(
1
2)＝
e
1
2−
1
8−1
1
2＝2
点评：
本题考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件．
考点点评： 本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值，以及函数恒成立问题等基础题知识，考查运算求解能力、推理论证能力，化归与转化思想．
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