（2011•湖南模拟）已知函数f（x）=（x2-x-[1/a]）eax（a≠0）．
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解题思路：（1）利用函数在切点处的导数值是切线的斜率，求出导函数，令x=0求出斜率，利用点斜式求出直线方程．
（2）构造新函数g（x），求出其导函数，讨论导函数的符号，求出g（x）的最小值，最小值大于等于0，求出a的范围．
（1）f′（x）=(2x−1)eax+a(x2−x−
1
a)eax
∴f′（0）=-2
将x=0代入f（x）得f（0）=−
1
a
所以曲线y=f（x）在点A（0，f（0））处的切线方程为 2x+y+
1
a＝0
（2）f(x)+
3
a≥0对x∈[−
3
a，+∞)恒成立
即(x2−x−
1
a)eax+
3
a≥0对x∈[−
3
a，+∞)恒成立
令g（x）=(x2−x−
1
a)eax+
3
ax∈[−
3
a，+∞)
∵g′(x)＝(2x−1)eax+a(x2−x−
1
a)eax
=（ax2+2x-ax-2）eax
=（ax+2）（x-1）eax
令g′(x)＝0得x＝−
2
a，x＝1
x∈(−
3
a，−
2
a)时，g′(x)＞0；x∈(−
2
a，1)时，g′(x)＜0；x∈(−
2
a，+∞)时，g′(x)＞0
当x=1时，g（1）=−
1
aea+
3
a；当x=−
3
a时，g(−
3
a)＝(
9
a2+
2
a)e−3+
3
a＞g（1）
故g（x）的最小值为−
1
aea+
3
a
∴−
1
aea+
3
点评：
本题考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．
考点点评： 本题考查导数的几何意义：在切点处的导数值是切线的斜率、考查利用导数求函数的最值、考查解决不等式恒成立转化为求函数的最值．
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