（2011•哈尔滨模拟）已知f（x）=ae-x+cosx-x（0＜x＜1）
1个回答
解题思路：（1）由f（x）＜0，得a＜（x-cosx）•ex，记g（x）=（x-cosx）•ex，求出g（x）的导数，利用导数判断g（x）在（0，1）的单调性，再由函数的单调性进行求解．
（2）构造函数h（x）=
e
−x
+sinx−1−
x
2
2
（0＜x＜1），且h（0）=0，求出h（x）的导数，再由导数判断h（x）在（0，1）上的单调性，再借助函数的单调性进行求解．
（1）由f（x）＜0，得a＜（x-cosx）•ex，
记g（x）=（x-cosx）•ex，
则g′（x）=（1+sinx）•ex+（x-cosx）•ex
=（1+sinx-cosx+x）•ex，
∵0＜x＜1，
∴sinx＞0，1-cosx＞0，ex＞0，∴g′（x）＞0，
∴g（x）在（0，1）上为增函数．
∴-1＜g（x）＜（1-cos1）•e，故a≤-1．
（2）构造函数h（x）=e−x+sinx−1−
x2
2（0＜x＜1），且h（0）=0，
则h′（x）=-e-x+cosx-x，
由（1）知：当a=-1时，f（x）=-e-x+cosx-x＜0（0＜x＜1），
∴h（x）在（0，1）单调递减，∴h（x）＜h（0）=0，
即e−x+sinx＜1+
x2
2(0＜x＜1)．
点评：
本题考点： 对数函数图象与性质的综合应用．
考点点评： 本题考查对数函数的性质和应用，解题时要注意导数的应用，掌握构造法在解题中的合理运用．
相关问题
