如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，以AC为直径的⊙O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长
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解题思路：（1）连接AD、OD，根据AC是圆的直径，即可得到AD⊥BC，再根据三角形中位线定理即可得到OD∥AB，这得到OD⊥DE，从而求证，DE是圆的切线．
（2）根据平行线分线段成比例定理，即可求得FC的长，即可求得AF，根据余弦的定义即可求解．
（1）证明：连接AD、OD
∵AC是直径
∴AD⊥BC
∵AB=AC
∴D是BC的中点
又∵O是AC的中点
∴OD∥AB
∵DE⊥AB
∴OD⊥DE
∴DE是⊙O的切线
（2） 由（1）知OD∥AE，
∴∠FOD=∠FAE，∠FDO=∠FEA，
∴△FOD∽△FAE，
∴[FO/FA=
OD
AE]
∴[FC+OC/FC+AC=
OD
AB-BE]
∴[FC+2/FC+4=
2
4-1]
解得FC=2
∴AF=6
∴Rt△AEF中，cos∠FAE=[AE/AF]=[AB-BE/AF]=[4-1/6]=[1/2]．
点评：
本题考点： 切线的判定；锐角三角函数的定义．
考点点评： 本题考查了切线的判定，垂径定理等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．并且本题还考查了三角函数的定义．
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