已知f(x)＝2x+12x+1−a是奇函数．
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解题思路：（1）由奇函数的定义可得f（x）=-f（-x），即f（x）+f（-x）=0，合理变形可求a；
（2）设任意的0＜x1＜x2，通过作差可判断f（x1）与f（x2）的大小关系，根据单调性的定义可作出判断；
（3）方程k•f（x）=2x可化为：2（2x）2-（k+2）•2x-k=0，令2x=t∈（1，2]，则可分离出参数k，进而转化为函数的值域问题，借助“对勾”函数的单调性可求得函数值域；
（1）∵f(x)＝
2x+1
2x+1−a是奇函数，
∴对定义域内的x，都有f（x）=-f（-x），
即f（x）+f（-x）=0，
则
2x+1
2x+1−a+
2−x+1
2−x+1−a＝
(2−a)(2x+1+22x+1)
(2x+1−a)(2−a•2x)＝0，
∴a=2．
（2）f（x）在（0，+∞）上的单调递减．
对任意的0＜x1＜x2、
f(x1)−f(x2)＝
2x1+1
2x1+1−2−
2x2+1
2x2+1−2＝
2x1−2x2
(2x1+1−2)(2x2+1−2)＞0，
故f（x1）＞f（x2），即f（x）在（0，+∞）上的单调递减；
（3）方程k•f（x）=2x可化为：2（2x）2-（k+2）•2x-k=0，
令2x=t∈（1，2]，
于是2t2-（k+2）t-k=0，
则k＝
2t2−2t
t+1＝2(t+1)+
4
t+1−6，
又2(t+1)+
4
t+1−6在（1，2]上单调递增，
∴2(t+1)+
4
t+1−6的值域为(0，
4
3]，
故0＜k≤
4
3．
点评：
本题考点： 奇偶性与单调性的综合；根的存在性及根的个数判断．
考点点评： 本题考查函数的奇偶性、单调性的综合应用、方程根的分布问题，考查转化思想、函数思想，考查学生解决问题的能力．
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