若函数y=f(x)的值域是[0.5,3],求函数F - 已解决 - 学校大全

若函数y=f(x)的值域是[0.5,3],求函数F(x)=f(x)+1/f(x)的值域?

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把F(x)看成一个复合函数,F(x) = g(f(x)),其中g(x) = x + 1/x.

f(x)的值域是[0.5, 3],相当于g(x)的定义域是[0.5, 3].即问题转化为：

求g(x) = x + 1/x的值域,其中x属于[0.5, 3]

x + 1/x 这个函数,在(0,1]上单调减,在[1, +无穷)上单调增.所以要对[0.5, 3]分段讨论.

当x属于[0.5, 1]时,g(x)单调减,g(0.5) = 2.5, g(1) = 2,值域为[2, 2.5]

当x属于[1, 3]时,g(x)单调增,g(1) = 2, g(3) = 10/3,值域为[2, 10/3]

两个值域并起来,就是[2, 10/3].

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