函数fx=(1-x^2)(x^2+bx+c)的图像关于x=2对称
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这是去年的高考题,填空的最后后一道,

简解

由令(1-x^2)(x^2+bx+c)=0

知方程必有根为x=±1,

这两个根不关于原点对称,故方程x^2+bx+c=0应有两根,

则这两个根与根x=±1关于直线x=2对称

这两个根为3或5

即方程x^2+bx+c=0的根为3或5

即3+5=-b

3×5=c

即b=-8,c=15

故fx=(1-x^2)(x^2-8x+15)

=-(x+1)(x-5)(x-1)(x-3)

=-(x^2-4x-5)(x^2-4x+3)

令t=x^2-4x,

则t=x^2-4x=(x-2)^2-4≥-4

则原函数变为y=-(t-5)(t+3)

=-t^2+2t+15

=-(t-1)^2+16

故当t=1时,y有最大值为16

故原函数的最大值为16.

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