（1）
证明：
∵E是BD的中点,G是AD的中点
∴EG是△ABD的中位线
∴EG//AB,EG=½AB
∵F是AC的中点,H是BC的中点
∴FH是△ABC的中位线
∴FH//AB,FH=½AB
∴EG//FH,EG=FH
∴四边形EGFH是平行四边形
∵E是BD的中点,H是BC的中点
∴EH是△BCD的中位线
∴EH//CD,EH=½CD
∵AB=CD
∴EH=FH
∴四边形EGFH是菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）
（2）
∵FH//AB
∴∠FHC=∠ABC
∵EH//CD
∴∠EHB=∠DCB
∴∠FHC+∠EHB=∠ABC+∠DCB=90°
∴∠EHF=90°
则菱形EGFH为正方形
∵EG=½AB=1/2
∴四边形EGFH的面积=EG²=1/4
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