已知a=（cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),试判断β-α=π/2是ka+b与ka-b(k≠0）的长度相等
1个回答
是充分必要条件.
因为
ka+b=(kcosα+cosβ,ksinα+sinβ)
|ka+b|^2=(kcosα+cosβ)^2+(ksinα+sinβ)^2
=k^2(cos^2α+sin^2α)+cos^2β+sin^2β+2k(cosα*cosβ+sinα*sinβ)
=k^2+1+2k*cos(β-α)
ka-b=(kcosα-cosβ,ksinα-sinβ)
|ka-b|^2=(kcosα+cosβ)^2+(ksinα+sinβ)^2
=k^2(cos^2α+sin^2α)+cos^2β+sin^2β-2k(cosα*cosβ+sinα*sinβ)
=k^2+1-2k*cos(β-α)
如果 β-α=π/2,那么cos(β-α)=0
则 |ka+b|^2=|ka-b|^2 ,即 ka+b与ka-b(k≠0）的长度相等
反之,如果 |ka+b|^2=|ka-b|^2
那么 cos(β-α)=0,即 β-α=π/2
故 β-α=π/2是ka+b与ka-b(k≠0）的长度相等的充分必要条件.
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