正八边形最长的对角线是51.6厘米,它的边长是多少?怎么计算?
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方法一：此法需要用到半角公式,适合高中生.
直接套用公式计算,公式是：a＝2Rsin（180°/n）,其中a为正n边形的边长,n为边数,R为外接圆半径.
在这里,R＝正八边形最长对角线的一半,n＝8,从而得：
边长＝51.6sin（45°/2）＝51.6√［（1－cos45°）/2］
＝51.6√［（1－√2/2）/2］＝51.6√［（2－√2）/4］＝25.8√（2－√2）（cm）.
方法二：此法能在忘记公式的情况下进行,且可避开半角公式.适合初中生.
设AB是正八边形的一条边,O为该八边形的中心.
过B作BC⊥OA交OA于C.
∵∠AOB是正八边形的一条边所对的圆心角,∴∠AOB＝360°/8＝45°,又BC⊥CO,
∴△BOC是以OB为底边的等腰直角三角形,∴BC＝OC＝OB/√2.
正八边形的最长对角线中心为点O,∴OA＝OB＝51.6/2＝25.8（cm）.
∴BC＝OC＝25.8/√2（cm）,得：AC＝OB－OC＝（25.8－25.8/√2）（cm）.
由勾股定理,有：AB^2＝BC^2＋AC^2＝（25.8/√2）^2＋（25.8－25.8/√2）^2
＝（25.8/√2）^2×［1＋（√2－1）^2］＝（25.8/√2）^2×（1＋2－2√2＋1）
＝（25.8/√2）^2×（4－2√2）
∴AB＝（25.8/√2）√（4－2√2）＝25.8√（2－√2）（cm）.
即：该正八边形的边长为25.8√（2－√2）cm.
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