数学必修五第二章重点需要所用公式,解题方法 尽量详细 什么时候用错位相减法,叠加叠乘,怎么看出来用什么方法,最好有例题。
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错位相减法是一种常用的数列求和方法,应用于等比数列与等差数列相乘的形式。 形如An=BnCn,其中Bn为等差数列,Cn为等比数列;分别列出Sn,再把所有式子同时乘以等比数列的公比,即kSn;然后错一位,两式相减即可。

例如,求和Sn=1+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1)(x≠0)

当x=1时,Sn=1+3+5+…+(2n-1)=n^2;

当x不等于1时,Sn=1+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1);

∴xSn=x+3x^2;+5x^3;+7x^4+…+(2n-1)*x^n;

两式相减得(1-x)Sn=1+2x[1+x+x^2;+x^3;+…+x^(n-2)]-(2n-1)*x^n;

化简得Sn=(2n-1)*x^(n+1)-(2n+1)*x^n+(1+x)/(1-x)^2

Sn= 1/2+1/4+1/8+....+1/2^n

两边同时乘以1/2

1/2Sn= 1/4+1/8+....+1/2^n+1/2^(n+1)(注意跟原式的位置的不同,这样写看的更清楚些)

两式相减

1/2Sn=1/2-1/2^(n+1)

Sn=1-1/2^n

错位相减法是求和的一种解题方法。在题目的类型中:一般是a前面的系数和a的指数是相等的情况下才可以用。这是例子(格式问题,在a后面的数字和n都是指数形式):

S=a+2a2+3a3+……+(n-2)an-2+(n-1)an-1+nan (1)

在(1)的左右两边同时乘上a。 得到等式(2)如下:

aS= a2+2a3+3a4+……+(n-2)an-1+(n-1)an+nan+1 (2)

用(1)—(2),得到等式(3)如下:

(1-a)S=a+(2-1)a2+(3-2)a3+……+(n-n+1)an-nan+1 (3)

(1-a)S=a+a2+a3+……+an-1+an-nan+1

S=a+a2+a3+……+an-1+an用这个的求和公式。

(1-a)S=a+a2+a3+……+an-1+an-nan+1

最后在等式两边同时除以(1-a),就可以得到S的通用公式了。

例子:求和Sn=3x+5x^2;+7x^3;+……..+(2n-1)·x的n-1次方(x不等于0)

当x=1时,Sn=1+3+5+…..+(2n-1)=n^2;;

当x不等于1时,Sn=3x+5x^2;+7x^3;;+……..+(2n-1)·x的n-1次方

所以xSn=x+3x^2;+5x^3;+7x四次方……..+(2n-1)·x的n次方

所以两式相减的(1-x)Sn=1+2x(1+x+x^2;;+x^3;;+...+x的n-2次方)-(2n-1)·x的n次方。

化简得:Sn=(2n-1)·x地n+1次方 -(2n+1)·x的n次方+(1+x)/(1-x)平方

Cn=(2n+1)*2^n

Sn=3*2+5*4+7*8+...+(2n+1)*2^n

2Sn= 3*4+5*8+7*16+...+(2n-1)*2^n+(2n+1)*2^(n+1)

两式相减得

-Sn=6+2*4+2*8+2*16+...+2*2^n-(2n+1)*2^(n+1)

=6+2*(4+8+16+...+2^n)-(2n+1)*2^(n+1)

=6+2^(n+2)-8-(2n+1)*2^(n+1) (等比数列求和)

=(1-2n)*2^(n+1)-2

所以Sn=(2n-1)*2^(n+1)+2

错位相减法

这个在求等比数列求和公式时就用了

Sn= 1/2+1/4+1/8+....+1/2^n

两边同时乘以1/2

1/2Sn= 1/4+1/8+....+1/2^n+1/2^(n+1)(注意根原式的位置的不同,这样写看的更清楚些)

两式相减

1/2Sn=1/2-1/2^(n+1)

Sn=1-1/2^n