定义在R上的函数f（x）=—2^x +b/2^(x+1）+a是奇函数,求a,b的值,求证：f（x)在r上是减函数.
2个回答
∵f（x）=-(2^x +b)/[2^(x+1）+a]
∴f（-x）=-[2^(-x)+b]/[2^(-x+1)+a]
∵奇函数有f（x）=-f（-x）
∴-(2^x +b)/[2^(x+1）+a]=[2^(-x)+b]/[2^(-x+1)+a]
∴-(2^x +b)*[2^(-x+1)+a]=[2^(-x)+b]*[2^(x+1）+a]
展开有：-[2+a2^x+b2^(-x+1)+ab]=2+a2^（-x）+b2^(x+1)+ab
即：-2-a*2^x-(2b/2^x)-ab=2+(a/2^x)+2b*2^x +ab
∴2+ab=0；a=-2b；
a=-2,b=1或a=2,b=-1；
如：a=-2,那么分母2^(x+1)+a=2^(x+1)-2,此时x≠0,这与x∈R相矛盾
∴a=2,b=-1
a=2,b=-1代入有：f（x）=-（2^x-1）/[2^(x+1)+2]=-(2^x-1)/2(2^x+1)
设x1＜x2
f（x1）-f（x2）
=-(2^x1-1)/2(2^x1+1) - [-(2^x2-1)/2(2^x2+1)]
=(2^x2-1)/2(2^x2+1) - (2^x1-1)/2(2^x1+1)（此步可以省略）
=[(2^x2-1)(2^x1+1)-(2^x1-1)(2^x2+1)]/[2(2^x1+1)(2^x2+1)]
（此步可以省略）
=[2^(x1+x2)+2^x2-2^x1-1-2^(x1+x2)-2^x1+2^x2+1]/[2(2^x1+1)(2^x2+1)]
（此步可以省略）
=(2^x2-2^x1)/[(2^x1+1)(2^x2+1)]
∵x1＜x2,∴2^x1＜2^x2,∴2^x2-2^x1＞0
∴f（x1）-f（x1）＞0
∴f（x）在R上是减函数；
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