在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，若a=1，且2cosC+c=2b，则△ABC的周长的取值范围是（ ）
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解题思路：由余弦定理求得 cosC，代入已知等式可得（b+c）2-1=3bc，利用基本不等式求得 b+c≤2，故a+b+c≤3．再由三角形任意两边之和大于第三边求得a+b+c＞2，由此求得△ABC的周长的取值范围．
△ABC中，由余弦定理可得：2cosC=
a2+b2−c2
2ab，
∵a=1，2cosC+c=2b，
∴
1+b2−c2
b+c=2b，化简可得：（b+c）2-1=3bc，
∵bc≤（[b+c/2]）2，
∴（b+c）2-1≤3×（[b+c/2]）2，
解得：b+c≤2（当且仅当b=c时，取等号）．
∴a+b+c≤3，
再由任意两边之和大于第三边可得：b+c＞a=1，
故有a+b+c＞2，
则△ABC的周长的取值范围是（2，3]，
故选：C．
点评：
本题考点： 余弦定理．
考点点评： 此题考查了余弦定理，以及基本不等式的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
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