（2010•赤峰模拟）若实数a＞0且a≠2，函数f（x）=[1/3]ax3-[1/2]（a+2）x2+2x+1．
1个回答
（1）由已知可得：f′(x)＝ax2−(a+2)x+2＝a(x−1)(x−
2
a)（2分）
当a＞2时，自变量x，以及f（x），f′（x）的变化情况如下表：
x (−∞，
2
a) [2/a] (
2
a，1) 1 （1，+∞）
f′（x） + 0 - 0 +
f（x） 增 极大值 减 极小值 增∴函数在x=1处取得极值，f（x）的单调递增区间是(−∞，
2
a)，（1，+∞）
单调递减区间是(
2
a，1)（4分）
当0＜a＜2时自变量x，以及f（x），f′（x）的变化情况如下表：
x （-∞，1） 1 (1，
2
a) [2/a] (
2
a，+∞)
f′（x） + 0 - 0 +
f（x） 增 极大值 减 极小值 增∴函数f（x）在x=1处取得极值，f（x）的单调递增区间是（-∞，1）和(
2
a，+∞)，单调递减区间是(1，
2
a)（6分）
（2）因为f（0）=1，由（1）知要使在区间（0，+∞）上至少存在一点x0，使得f（x0）＜1成立，
只需在区间（0，+∞）上f（x）极小值＜1即可（8分）
当a＞2时，f（x）极小值=f（1）=2-[a/6]＜1，所以a＞6
当0＜a＜2时，f(x)极小值＝f(
2
a)＝1+
2(3a−2)
3a2＜1恒成立，
所以0＜a＜
2
3
综上所述，实数a的取值范围为(0，
2
3)∪(6，+∞)（12分）
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