数学 已知实数a,b,c满足a+b+c=1,a²+b²+c²=3,则abc的最大值是几
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因a+b+c=1

两边平方,整理可得

a²+b²+c²+2(ab+bc+ca)=1

结合a²+b²+c²=3可得

ab+bc+ca=-1

∴-1=ab+c(a+b)

=ab+c(1-c)

∴ab=c²-c-1

又a+b=1-c

∴由韦达定理可知

a,b是关于x的方程x²+(c-1)x+(c²-c-1)=0的两根.

∴⊿=（c-1)²-4(c²-c-1)≥0

整理可得3c²-2c-5≤0

解得:-1≤c≤5/3

ab=c²-c-1

abc=c³-c²-c

构造函数f(x)=x³-x²-x -1≤x≤5/3

求导,f'(x)=3x²-2x-1=(x-1)(3x+1)

∴f(x)max=max{f(-1/3),f(5/3)}=5/27

∴(abc)max=5/27

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