记A=xy>0,B=yz>0,C=xz>0,则由排序不等式易知
A³+B³+C³≥A²B+B²C+C²A,A³+B³+C³≥A²C+C²B+B²A
=>2(A³+B³+C³)≥A²B+B²C+C²A+A²C+C²B+B²A
记S=A²B+B²C+C²A+A²C+C²B+B²A,则
2(A+B+C)(A²+B²+C²)=2(A²(A+B+C)+B²(A+B+C)+C²(A+B+C))
=2(A³+B³+C³+S)≥3S =>2(A³+B³+C³)≥S
又A³+B³+C³≥3ABC
∴64(A+B+C)³=54(A+B+C)³+10(A³+B³+C³+3S+6ABC)
=54(A+B+C)³+10(A³+B³+C³)+27S+27ABC+3S+33ABC
≤54(A+B+C)³+10(A³+B³+C³)+27S+27ABC+6(A³+B³+C³)+11(A³+B³+C³)
=54(A+B+C)³+10(A³+B³+C³)+27S+27ABC+6(A³+B³+C³)+11(A³+B³+C³)
=54(A+B+C)³+27(A³+B³+C³+S+ABC)
=54(A+B+C)³+27(A+B+C)(A²+B²+C²)+27ABC
再记W=A+B+C,则易知A+B+C=xy+yz+xy≤x²+y²+z²
∴上式=54W³+27(A²+B²+C²)W+27ABC
≤27W³+27(x²+y²+z²)W²+27(A²+B²+C²)W+27ABC
=27[W³+(x²+y²+z²)W²+((xy)²+(yz)²+(zx)²)W+(xyz)²]
=27(W+x²)(W+y²)(W+z²)
而W+x²=x²+xy+yz+zx=x²+x(y+z)+yz=(x+y)(x+z)
同理有W+y²=(y+x)(y+z),W+z²=(z+x)(z+y)
∴上式=27(x+y)²(y+z)²(z+x)²
即27(x+y)²(y+z)²(z+x)²≥64(A+B+C)³=64(xy+yz+zx)³
