已知函数f(x)=e^x+ax-1(a属于R且a为常数)若对所有x≥0都有f(x)≥f(-x),求a的取值范围
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设g(x)=f(x)-f(-x)=e^x+ax-1-(e^(-x)-ax-1)=e^x-e^(-x)+2ax

由题意得,对所有x≥0都有f(x)≥f(-x),即转化为：

对x≥0,g(x)≥0恒成立；所以要求g(x)极小值≥0

g'(x)=e^x+e^(-x)+2a

再设G(x)=g'(x),则G'(x)=e^x-e^(-x)=(e^(2x)-1)/e^(-x)

因为x ≥0,则G‘(x)>0,

即G(x)在x≥0时递增,G(x)min=G(0)=2+2a

所以g'(x)min=2+2a

当2+2a≥0时,a≥-1,此时g'(x)≥0恒成立,所以g(x)递增,

即g(x)min=g(0)=0

所以g(x)在x≥0恒有g(x)≥0,即f(x)≥f(-x)；

a的取值范围为(-1,+∞)

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