n^4+2n^3+5n^2+12n+5-(n^2+n+1)^2=10n+4≥14>0
(n^2+n+4)^2-（n^4+2n^3+5n^2+12n+5）=9n^2-9n+11≥11>0
所以n^4+2n^3+5n^2+12n+5只能等于(n^2+n+2)^2或（n^2+n+3）^2
若n^4+2n^3+5n^2+12n+5=(n^2+n+2)^2 则5n²-13n-1=0 此方程无整数解
若n^4+2n^3+5n^2+12n+5=(n^2+n+3)^2 则7n²-11n+4=0
（7n-4）（n-1）=0 此方程整数解n=1
n=1
验算 n=1时 n^4+2n^3+5n^2+12n+5=25=5²
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