如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BC、AC上，且∠ADE=60°，

如图，△ABC是等边三角形，点D，E分别在BC、AC上，且∠ADE=60°，

（1）求证：BD•CD=AC•CE；

（2）若△ABC的边长为6，CD=2BD，求AD的长．

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解题思路：（1）由△ABC是等边三角形，∠ADE=60°，易证得∠B=∠D=60°，∠BAD=∠CDE，即可证得△ABD∽△DCE，然后由相似三角形的对应边成比例，即可证得BD•CD=AC•CE；

（2）首先过点A作AF⊥BC于F，由等边三角形的性质，即可求得BF与AF的长，又由CD=2BD，易求得DF的长，然后利用勾股定理即可求得AD的长．

（1）证明：∵△ABC是等边三角形，

∴∠B=∠C=60°，AB=AC，

∵∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE，∠B=∠ADE=60°，

∴∠BAD=∠CDE，

∴△ABD∽△DCE，

∴[AB/CD＝

BD

CE]，

∴BD•CD=AB•CE，

即BD•CD=AC•CE；

（2）过点A作AF⊥BC于F，

∵△ABC是等边三角形，边长为6

∴BF=[1/2]BC=3，

∵CD=2BD，

∴AB=BC=6，BD=2，

∴DF=1，

在Rt△ABF中，AF=

AB2−BF2=3

3，

在Rt△ADF中，AD=

AF2+DF2=2

7．

点评：

本题考点： 相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．

考点点评： 此题考查了相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度适中，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．

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