分析：
（
I
）
连接三角形的内心和三角形的各个顶点,
根据三角形的总面积等于分割成的三个小三角形的
面积,进行计算；
（
II
）连接两圆的圆心和每个圆的圆心和三角形的三个顶点,把大三角形分割成了三个三角
形和一个梯形,根据三角形的总面积等于四部分的面积的和,进行计算；
（
III
）
连接第一个圆和最后一个圆的圆心,
以及两个圆的圆心和三角形的三个顶点,
根据
（
II
）
的思路进行计算．
（
I
）∵在
Rt
△
ABC
中,∠
ACB=90
°,
AC=6
,
BC=8
,
∴
AB= AC2+BC2 =10
．
如图
1
,
设⊙
O1
与
Rt
△
ABC
的边
AB
,
BC
,
CA
分别切于点
D
,
E
,
F
．
连接
O1D
,
O1E
,
O1F
,
AO1
,
BO1
,
CO1
．
于是
O1D
⊥
AB
,
O1E
⊥
BC
,
O1F
⊥
AC
．
S
△
AO1C=1 2 AC
•
O1F=1 2 AC
•
r1=3r1
,
S
△
BO1C=1 2 BC
•
O1E=1
2 BC
•
r1=4r1
,
S
△
AO1B=1 2 AB
•
O1D=1 2 AB
•
r1=5r1
,
S
△
ABC=1
2 AC
•
BC=24
．
又∵
S
△
ABC=S
△
AO1C+S
△
BO1C+S
△
AO1B
,
∴
24=3r1+4r1+5r1
,
∴
r1=2
．
（
II
）如图
2
,连接
AO1
,
BO2
,
CO1
,
CO2
,
O1O2
,则
S
△
AO1C=1 2 AC
•
r2=3r2
,
S
△
BO2C=1 2 BC
•
r2=4r2
．
∵等圆⊙
O1
,⊙
O2
外切,
∴
O1O2=2r2
,且
O1O2
∥
AB
．
过点
C
作
CM
⊥
AB
于点
M
,交
O1O2
于点
N
,
则
CM=AC
•
BC AB =24 5
,
CN=CM-r2=24 5 -r2
．
∴
S
△
CO1O2=1 2 O1O2
•
CN=(24 5 -r2)r2
,
∴
S
梯形
AO1O2B=1 2 (2r2+10)r2=(r2+5)r2
．
∵
S
△
ABC=S
△
AO1C+S
△
BO2C+S
△
CO1O2+S
梯
形
AO1O2B
,
∴
3r2+4r2+
（
24 5 -r2
）
•
r2+
（
r2+5
）
r2=24
,
解得
r2=10 7
．
（
III
）如图
3
,连接
AO1
,
BOn
,
CO1
,
COn
,
O1On
,则
S
△
AO1C=1 2 AC
•
rn=3rn
,
S
△
BOnC=1 2 BC
•
rn=4rn
．
∵等圆⊙
O1
,⊙
O2
,…,⊙
On
依次外切,且均与
AB
边相切,
∴
O1
,
O2
,…,
On
均在直线
O1On
上,且
O1On
∥
AB
,
∴
O1On=
（
n-2
）
2rn+2rn=2
（
n-1
）
rn
．
过点
C
作
CH
⊥
AB
于点
H
,交
O1On
于点
K
,
则
CH=24 5
,
CK=24 5 -rn
．
S
△
CO1On=1
2
O1On
•
CK=(n-1)(24
5
-rn)rn
,
S
梯
形
AO1OnB=1
2
[2(n-1)rn+10]rn=[(n-1)rn+5]rn
．
∵
S
△
ABC=S
△
AO1C+S
△
BOnC+S
△
CO1On+S
梯形
AO1OnB
,
∴
24=3rn+4rn+(n-1)(24 5 -rn)rn+[(n-1)rn+5]rn
．
解得
rn=10 2n+3
．
点评：
解决此题的方法是根据三角形的面积的不同计算方法进行计算．
注
意：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边．
