若曲线f（x）=xsinx+1在x＝π2处的切线与直线ax+2y+1=0互相垂直，则(ax2−1x)5展开式中x的系数为
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解题思路：由题意可得 f′（[π/2]）=[2/a]，求得a=2．在
(a
x
2
−
1
x
)
5
=
(2
x
2
−
1
x
)
5
的通项公式中，令x的幂指数等于1，求得r的值，可得
(a
x
2
−
1
x
)
5
展开式中x的系数．
由题意可得曲线f（x）=xsinx+1在x＝
π
2处的切线斜率为 [2/a]，
故有f′（[π/2]）=[2/a]，即 sin[π/2]+[π/2]cos[π/2]=[2/a]，解得a=2．
则(ax2−
1
x)5=(2x2−
1
x)5 的通项公式为 Tr+1=
Cr5•25-r•（-1）r•x10-3r，
令10-3r=1，求得r=3，故(ax2−
1
x)5展开式中x的系数为-10×4=-40，
故选：D．
点评：
本题考点： 二项式定理；利用导数研究曲线上某点切线方程．
考点点评： 本题主要考查导数的几何意义，二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．
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