已知直线l:mx+ny=1与椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0)交与P,R两点 1.求证:a^2·m

已知直线l:mx+ny=1与椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0)交与P,R两点 1.求证:a^2·m^2+b^2·n^2＞1 2.若O为

已知直线l:mx+ny=1与椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0)交与P,R两点

1.求证:a^2·m^2+b^2·n^2＞1

2.若O为坐标原点，OP垂直OR，求证（a方+b方）/（a方b方）=m方+n方

收藏：
0
点赞数：
0
评论数：
0
3个回答

1. 证明：∵直线l:mx+ny=1与椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a＞b＞0)交于不同两点

联立方程得：mx+ny=1 ①

:x^2/a^2+y^2/b^2=1 ②

化简整理得：（b^2+a^2m^2/n^2）x^2-2a^2m/n^2x+a^2/n^2-a^2b^2=0

由根的判别式△>0得4a^4m^2/n^2-4(b^2+a^2m^2/n^2)(a^2/n^2-a^2b^2)>0

化简得(a^2b^4n^2-a^2b^2+a^4b^2m^2)/n^2>0

因为n^2>0

所以a^2b^4n^2-a^2b^2+a^4b^2m^2>0

即a^2b^4n^2+a^4b^2n^2>a^2b^2

也即a^2m^2+b^2n^2>1

2. 证明：设P(x1,y1),R(x2,y2)

因为OP⊥OR

所以向量OP.向量OR=0

即x1x2+y1y2=0

由韦达定理得 x1+x2=2a^2m/(b^2n^2+a^2m^2)

X1.x2=(a^2-a^2b^2n^2)/(b^2n^2+a^2m^2)

带入mx+ny=1得 y1.y2=(b^2n^2-a^2b^2n^2m^2)/(b^2n^4+a^2m^2n^2)

∴(a^2-a^2b^2n^2)/(b^2n^2+a^2m^2)+ (b^2n^2-a^2b^2n^2m^2)/(b^2n^4+a^2m^2n^2)=0

即(a^2+b^2-a^2b^2n^2-a^2b^2m^2)/(b^2n^2+a^2m^2)=0

也即a^2+b^2=a^2b^2(m^2+n^2)

点赞数：
0
评论数：
0
相关问题
关注公众号
一起学习，一起涨知识