在两个各项均为正数的数列a n 、b n （n∈N * ）中，已知a n 、b n 2 、a n+1 成等差数列，并且b
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（I）由题意知
2 b n 2 = a n + a n+1
a n+1 2 = b n 2 • b n+1 2 ，
又∵数列a n、b n各项都是正数，∴a n+1=b nb n+1，则a n=b n-1b n
代入2b n 2=a n+a n+1，得2b n 2=b n-1b n+b nb n+1
即2b n=b n-1+b n+1，所以数列b n是等差数列．
（II）∵a 1=2，a 2=6，又2b n 2=a n+a n+1，得2b 1 2=a 1+a 2=8，解得b 1=2
又∵a 2=b 1b 2=6∴b 2=3，由（I）知数列b n是等差数列，则公差d=b 2-b 1=1
∴b n=b 1+（n-1）d=2+n-1=n+1，
又a n=b n-1b n，得a n=n（n+1）=n 2+n，
∴ c n =( a n - n 2 )• q b n =n q n+1 ，
则当q=1时，c n=n，此时 S n =
n(n+1)
2 ；
当q≠1时，S n=c 1+c 2++c n=1×q 2+2×q 3++nq n+1，①
所以qS n=qc 1+qc 2++qc n=1×q 3+2×q 4++nq n+2②
由①-②，得 (1-q) S n = q 2 + q 3 + q n+1 -n q n+2 =
q 2 (1- q n )
1-q -n q n+2 ，
即 S n =
q 2 (1- q n )
(1-q) 2 -
n q n+2
1-q
综上可知， S n =
n(n+1)
2 ，(q=1)
q 2 (1- q n )
(1-q) 2 -
n q n+2
1-q ，(q≠1)
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