若PA^2+PC^2=2PB^2 请说明点P在对角线AC上
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如图,P是正方形ABCD内一点,连AP.PC,PB,若PA^2+PC^2=2PB^2,请说明,点P必在对角线AC上
解 以B为旋转中心,将ΔBAP顺时针旋转90°,此时A→C,P→Q.
连BQ,CQ,PQ,则AP=CQ,BP=BQ,ΔPBQ为等腰直角三角形,即得:
PQ^2=2PB^2=2BQ^2.
∠BPQ=∠BQP=45°
而题设条件是:PA^2+PC^2=2PB^2
所以PQ^2=PA^2+PC^2=CQ^2+PC^2,
故∠PCQ=90°.
因为∠PBQ=∠PCQ=90°,所以P,B,Q,C四点共圆,
故得:∠BCP=∠BQP=45°.
因此P点在对角线AC上.
附证:
2PB^2=PA^2+PC^2=(PA+PC)^2-2PA*PC
>=AC^2-2PA*PC=2AB^2-2PA*PC,
所以得:
PB^2>=AB^2-PA*PC.(1)
当P在AC上,根据Stewart定理得:
PB^2=AB^2-PA*PC.(2)
故满足:PA^2+PC^2=2PB^2,试P在对角线AC上
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