求证:当p.q都是奇数时,方程x2+2px+2q=0(p2-2q>0)的根都是无理数(反证法,分奇数,偶数,分数讨论)
1个回答
证明：若此方程的根有一个是整数,则由两根之和为-2p知,另一根也是整数,因为两根之和为偶数,所以这两整数根要么同为偶数,要么同为奇数,若x1=2m,x2=2n,其中m,n是整数,则x1x2=2q
因为x1x2=4mn,所以q=2mn,这与q是奇数矛盾,说明两根不能同为偶数,
若两根同为奇数,则两根之积也是奇数,而两根之积是2q,这说明两根也不能同为奇数.因此原方程没有整数根.若方程有分数根m/n,其中m,n互质,且n为大于1的正整数.
则有m^2/n^2+2pm/n+2q=0,所以m^2+2pmn+2qn^2=0,即m^2=-2pmn+2qn^2
所以m^2能被n整除,则n能整除m,这与n,m互质矛盾
综上所述,方程x2+2px+2q=0(p2-2q>0)的两根都不是有理数,即都是无理数
相关问题
