1sinα＋cosα＝根号2求sin4α-cos4α
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答案为 1
共用三个基本三角函数恒等式: (sinα)^2＋(cosα)^2＝1；2(sinα)(cosα) = sin(2α) 及 (cosα)^2 - (sinα)^2 = cos(2α) [2倍角公式]
解: 已知 sinα＋cosα＝根号2 所以 (sinα＋cosα)^2＝2
展开得 (sinα)^2＋(cosα)^2＋2(sinα)(cosα)＝2
所以得 2(sinα)(cosα)＝1 因为 (sinα)^2＋(cosα)^2＝1
所以 sin(2α)＝1 [利用 2(sinα)(cosα) = sin(2α) 恒等式]
又(sin2α)^2＋(cos2α)^2＝1 所以 cos(2α)＝0
原题 sin4α-cos4α = (2sin2α cos2α) - [(cos2α)^2 - (sin2α)^2] = 0 - [0-1] = 1
捷径: 45度角时 sinα 与 cosα 各为 二分之根号2 即 sinα＋cosα＝根号2
sin4α-cos4α = sin(180度) - cos(180度) = 0-(-1) = 1
