已知函数f(x)＝log12[x2-2（2a-1）x+8]（a∈R）
1个回答
解题思路：（1）利用函数f（x）在[a，+∞﹚上为减函数，建立不等式组，即可求a的取值范围；
（2）确定y=f（
sin(2x−
π
3
)
），结合三角函数、对数函数的性质，即可求函数的值域；
（3）原方可化为x2-2（2a-1）x+8=2x+6＞0，即
4a＝x+
2
x
，x∈[1，3]，根据在[1，3]上有且只有一解，即可得出结论．
（1）∵函数f（x）在[a，+∞﹚上为减函数，
∴
2a−1≤a
a2−2(2a−1)a+8＞0
∴−
4
3＜a≤1；
（2）当a=[3/4]时，f(x)＝log
1
2(x2−x+8)
∴y=f（sin(2x−
π
3)）=log
1
2[sin(2x−
π
3)−
1
2]2+
31
4，
∵x∈[[π/12，
π
2]]，∴−
π
6≤2x−
π
3≤[2π/3]，∴-[1/2]≤sin（2x−
π
3）≤1
∴函数的值域为[log
1
210，log
1
2
35
4]；
（3）原方可化为x2-2（2a-1）x+8=2x+6＞0，
即4a＝x+
2
x，x∈[1，3]，由双勾图形可知：3＜4a≤
11
3或4a=2
点评：
本题考点： 复合函数的单调性；对数函数图象与性质的综合应用．
考点点评： 本题考查函数的单调性，函数的值域，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
相关问题
