设函数f（x）=[ax−1/x+1]，其中a∈R
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解题思路：（1）不等式f（x）≤-1，即
(a+1)x
x+1
≤0
，再分当a＜-1时、当a=-1时、当a＞-1三种情况，分别求得不等式解集．
（2）在（0，+∞）上任取x1＜x2，化简f（x1）-f（x2）为
(a+1)
(x
1
−x
2
)
(x
1
+1)
(x
2
+1)
，显然只有当a+1＜0时，才有
(a+1)
(x
1
−x
2
)
(x
1
+1)
(x
2
+1)
＞0，函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，由此求得a的范围．
（1）不等式f（x）≤-1 即为 [ax−1/x+1]≤-1，即
(a+1)x
x+1≤0．
当a＜-1时，不等式解集为（-∞，-1）∪[0，+∞）；
当a=-1时，不等式解集为（-∞，-1）∪（-1，+∞）；
当a＞-1时，不等式解集为（-1，0]．
（2）在（0，+∞）上任取x1＜x2，
则 f（x1）-f（x2）=
ax1−1
x1+1-
ax2−1
x2+1
=
(a+1)(x1−x2)
(x1+1)(x2+1)．
由题设可得，x1-x2＜0，x1+1＞0，x2+1＞0，
∴当a+1＜0，即a＜-1时，
(a+1)(x1−x2)
(x1+1)(x2+1)＞0，f（x1）-f（x2）＞0，
函数f（x）在（0，+∞）上是减函数．
点评：
本题考点： 函数单调性的性质．
考点点评： 本题主要考查分式不等式的解法，函数的单调性的判断和证明，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
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