柯西不等式正实数x+y+z=1,
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利用柯西不等式
[X^4/(2+y^2-z) +y^4/(2+z^2-x) +z^4/(2+x^2-y)] (2+y^2-z +2+z^2-x +2+x^2-y)>=(x^2+y^2+z^2) 显然x=y=z时等号成立
由于x+y+z=1,带入第二个括号(2+y^2-z +2+z^2-x +2+x^2-y),得
[X^4/(2+y^2-z) +y^4/(2+z^2-x) +z^4/(2+x^2-y)] (5+x^2+y^2+z^2)>=(x^2+y^2+z^2)
整理上述不等式可得：
[X^4/(2+y^2-z)+y^4/(2+z^2-x)+z^4/(2+x^2-y)]
>=(x^2+y^2+z^2)/(5+x^2+y^2+z^2)=1--5/(5+x^2+y^2+z^2)
即[X^4/(2+y^2-z)+y^4/(2+z^2-x)+z^4/(2+x^2-y)]>=1--5/(5+x^2+y^2+z^2)
再由柯西不等式可得(x^2+y^2+z^2)(1+1+1)>=(x+y+z)^2暨(x^2+y^2+z^2)>=1/3
等号成立当且仅当x=y=z
再把(x^2+y^2+z^2)>=1/3带入此式：[X^4/(2+y^2-z)+y^4/(2+z^2-x)+z^4/(2+x^2-y)]>=1--5/(5+x^2+y^2+z^2)可得该式>=1/48
两个大于等于号的成立条件都是x=y=z,故而这个连续不等式是可以的.
所以[X^4/(2+y^2-z)+y^4/(2+z^2-x)+z^4/(2+x^2-y)]>=1/48
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