点G为三角形的重心,过G作直线与ABAC两边分别交于MN两点,且向量AM=x向量AB,向量AN=y向量AC,求1/x+1
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【原创解答】延长AG交BC于D,
G为三角形的重心,则AD为三角形的中线.
根据三角形法则：向量AD=AB+BD= AB+1/2BC
= AB+1/2(AC-AB)= 1/2(AB+AC).
G为三角形的重心,根据重心的性质：AG=2/3AD,
所以AG=2/3•1/2(AB+AC)= 1/3(AB+AC).
根据三角形法则：向量MG=AG-AM=1/3(AB+AC)-xAB
=(1/3-x)AB+1/3AC,
向量GN=AN-AG=yAC-1/3(AB+AC)
=-1/3 AB+(y-1/3) AC,
由已知,M、G、N三点共线,即向量MG、 GN共线.
向量MG=(1/3-x)AB+1/3AC与向量GN=-1/3 AB+(y-1/3) AC
的对应项的系数成比例.
∴(1/3-x)/( -1/3)=( 1/3)/ (y-1/3),
(1/3-x) (y-1/3)=-1/9,
展开得：1/3 y+1/3 x-xy=0,
x+y=3xy,
两边同除以xy得：
1/x+1/y=3.
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