已知定理：“若a，b为常数，g（x）满足g（a+x）+g（a-x）=2b，则函数y=g（x）的图象关于点（a，b）中心对
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解题思路：本题的要求较高，需要理解新的定理，第（1）小问是对函数对称性的考查，第（2）小问是对函数值域求法的考查，相对比较容易，对于第（3）问要求理解构造的一个新数列的各项不会出现函数定义域A之外的元素，构造过程才可以继续，这就转化为恒成立的问题，进而分类讨论求出a．
（1）∵f(x)＝−1+
1
a−x，∴f(a+x)+f(a−x)＝(−1+
1
−x)+(−1+
1
x)＝−2．
由已知定理，得y=f（x）的图象关于点（a，-1）成中心对称．（3分）
（2）先证明f（x）在[a-2，a-1]上是增函数，只要证明f（x）在（-∞，a）上是增函数．
设-∞＜x1＜x2＜a，则f(x1)−f(x2)＝
1
a−x1−
1
a−x2＝
x1−x2
(a−x1)(a−x2)＜0，
∴f（x）在（-∞，a）上是增函数．再由f（x）在[a-2，a-1]上是增函数，得
当x∈[a-2，a-1]时，f（x）∈[f（a-2），f（a-1）]，即f(x)∈[−
1
2， 0]．（7分）
（3）∵构造过程可以无限进行下去，∴f(x)＝
x+1−a
a−x≠a对任意x∈A恒成立．
∴方程[x+1−a/a−x＝a无解，即方程（a+1）x=a2+a-1无解或有唯一解x=a．
∴
a+1＝0
a2+a−1≠0]或
a+1≠0
a2+a−1
a+1＝a由此得到a=-1（13分）
点评：
本题考点： 函数的值域；函数单调性的判断与证明．
考点点评： 本例考查的数学知识点有，函数的对称性，函数的定义域和值域的求法；数学思想有极限思想，方程思想；是一道函数综合题．
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