已知点P是抛物线y=[1/4x2+1上的任意一点，设点P到x轴的距离为d1，点P与点F（0，2）的距离为d2，过点P的直
2个回答
解题思路：（1）本题可设出P点坐标，然后根据抛物线的解析式表示出d1，根据两点间的距离公式表示出d2，然后进行证明即可．
（2）本题要利用（1）的结论进行求解．过P、Q作x轴的垂线设垂足为P1、Q1．根据（1）的结论可以得出PP1=PF，QF=QQ1，如果过M作x轴的垂线MC，那么MC就是梯形PP1Q1Q的中位线，即MC=[1/2]（PP1+QQ1），如果MC最短，那么PP1+QQ1就需最短，而PP1=PF，QQ1=QF，因此PF+QF就必须最短，根据两点间线段最短可知当P、F、Q共线时，MC就最短，因此MC=[5/2]．
（1）猜想d1=d2．
证明如下：
设P（x1，y1）是抛物线上任一点
∴d1=y1=
x12
4]+1
而d2=PF=
x12+(y1−2)2=
4y1−4+(y1−2)2=y1
∴d1=d2．
（2）过M作MC垂直x轴，垂足为C，易得MC=[1/2]（PP1+QQ1）
由（1）证PP1=PF，QQ1=QF
∴MC=[1/2]（PP1+QQ1），
即要求PF+QF最小值
而PF+QF≥PQ，
故当P、F、Q三点共线时，PF+QF最小，且等于PQ．
所以MC最小值为[5/2]，
即M到x轴最短距离为[5/2]．
点评：
本题考点： 二次函数综合题．
考点点评： 本题主要考查了二次函数的应用、函数图象交点、中位线定理等知识点．
相关问题
