(23 17:36:38)已知直线与抛物线y^2=2px（p＞0）交于A,B两点,O为坐标原点,且OA⊥OB,OD⊥AB
3个回答

（方法一）

因为OD⊥AB所以k(OD)*k(AB)=-1则k(AB)=-2

因此AB:y=5-2x

与抛物线方程联立：y^=(5-2x)^=2px

得4x^-(20+2p)x+25=0

所以xAxB=25/4,xA+xB=(10+p)/2

yAyB=(5-2xA)(5-2xB)=25-10(xA+xB)+4xAxB=-5p

又OA⊥OB即(xA,yA)*(xB,yB)=0

所以xAxB+yAyB=0=25/4-5p

可得p=5/4

（方法二）设A B的坐标分别是(2pt1^2,2pt1),(2pt2^2,2pt2)

则OA OB的斜率分别是1/t1,1/t2

因为OD⊥AB,所以t1*t2=-1

由D为(2,1)知道OD斜率是1/2,所以AB的斜率是-2

即1/(t1+t2)=-2,t1+t2=-1/2

AB直线的斜率=AD直线的斜率,即1/(t1+t2)=(2pt1-1)/(2pt1^2-2)

2pt1^2-2=2pt1^2-t1+2pt1*t2-t2

即t1+t2=2pt1*t2+2

把前面的结果代入得-1/2=2p(-1)+2,p=5/4

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