（2014•福州模拟）已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（1，0）、B（3，0）、C（0，3），顶点为D．

（2014•福州模拟）已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（1，0）、B（3，0）、C（0，3），顶点为D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在x轴下方的抛物线y=ax2+bx+c上有一点G，使得∠GAB=∠BCD，求点G的坐标；

（3）设△ABD的外接圆为⊙E，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是⊙E上异于A、B的任意一点，直线AP交l于点M，连接EM、PB．求tan∠MEB•tan∠PBA的值．

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解题思路：（1）将已知点的坐标代入到二次函数的解析式，利用待定系数法确定二次函数的解析式即可；

（2）过点G作GF⊥x轴，垂足为F．设点G坐标为（m，m2-4m+3），进而得到点D（2，-1），利用勾股定理的逆定理得到△CBD是直角三角形，利用正切函数的定义得到AF=3GF，从而得到-3（m2-4m+3）=m-1，求得m的值即可得到点G的坐标；

（3）根据点D的坐标为（2，-1）得到△ABD是等腰直角三角形，从而确定圆心E是线段AB的中点，即E（2，0），半径为1，设P（x1，y1）（1＜x1＜3，y1≠0），M（3，y0），作PF⊥x轴，F为垂足．根据点A、P、M三点在一条直线上，得到

|

y

0

|

|

y

1

|

=

2

x

1

−1

，从而求解．

（1）由抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C，可得：

c＝3

a+b+c＝0，9a+3b+c＝0，

解得：

a＝1

b＝−4，c＝3，

∴抛物线的解析式为y=x2-4x+3．

（2）过点G作GF⊥x轴，垂足为F．设点G坐标为（m，m2-4m+3），

∵点D（2，-1），

又∵B（3，0），C（0，3），

∴由勾股定理得：CD=2

5，BD=

2，BC=3

2，

∵CD2=BC2+BD2，

∴△CBD是直角三角形，

∴tan∠GAF=tan∠BCD=[1/3]．

∵tan∠GAF=[GF/AF]=[1/3]，

∴AF=3GF，

即-3（m2-4m+3）=m-1，

解得：m1=1（舍去），m2=[8/3]．

∴点G的坐标为（[8/3]，-[5/9]）．

（3）∵点D的坐标为（2，-1），

∴△ABD是等腰直角三角形，

∴圆心E是线段AB的中点，即E（2，0），半径为1，

设P（x1，y1）（1＜x1＜3，y1≠0），M（3，y0），作PF⊥x轴，F为垂足．

∵点A、P、M三点在一条直线上，

∴

|y0|

|y1|=[2

x1−1，即|y0|＝

2|y1|

x1−1．

∴tan∠MEB=

|y0|/EB]=

2|y1|

x1−1，

∵AB为直径，

∴∠APB=90°，

∴∠PBA=∠APF，

∴tan∠PBA=tan∠APF=

x1−1

|y1|，

∴tan∠MEB•tan∠PBA=

2|y1|

x1−1•

x1−1

|y1|=2．

另同上，连接PE，

∵PE=1，PF=|y1|，EF=|x1-2|，

在Rt△PEF中，根据勾股定理得：（x1-2）2+y12=1，

即1-（x1-2）2=y12，…（12分），

∵tan∠PBA=

|y1|

3−x1，…（13分）

∴tan∠MEB•tan∠PBA=

2y12

−(x12−4x1+3)＝

2y12

1−(x1−2)2=2．

点评：

本题考点： 二次函数综合题．

考点点评： 此题考查了抛物线解析式的确定等二次函数的综合知识，（2）（3）小题中，都用到了分类讨论的数学思想，难点在于考虑问题要全面，做到不重不漏．

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