已知,在平面直角坐标系中,A（a,0）,B（0,b）,a,b满足（a-b）+（|a-3√2|）

已知,在平面直角坐标系中,A（a,0）,B（0,b）,a,b满足（a-b）+（|a-3√2|）

=0.C为AB的中点,P是线段AB上一动点,D是x轴正半轴上一点,且PO=PD,DE垂直于E.

（1）求角OAB的角度.

（2）设AB=6,当点P运动时,PE的值是否变化?若变化,说明理由；若不变,请求PE的值.

（3）设AB=6,若角OPD=45度,求点D的坐标.

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（1）因为根号和绝对值都是非负数,两个非负数的和是〇,一般认为这两个非负数都是〇,所以推出：a=b=3√2,显然角∠OAB=45°.

（2）首先,猜想.方法是举几个非常特殊的位置,看看结果如何.其次,给出一般的证明方法.具体到本题,假如P点与B点重合,则PE=BC=1/2AB=3；假如P点与C点重合,此时D与E重合,但是PE仍然是3.由此猜想PE可能是一定值.

由于是解析几何的问题,求线段PE的长度,可以利用距离公式,为此需要知道P和E点的坐标,本着“求什么就设什么”的原则,寻求P点和E点的坐标关系.具体方法如下：

① 设P点坐标为（α,β）.显然P点在直线AB上,而直线AB的方程式为：y=-x + 3√2,所以P点可以记作P（α,3√2 - α）.

② 因为PO=PD,可知D点坐标是D（2α,0）.

③ 因为DE⊥AB,所以可知直线DE的方程式是：y=x - 2α.

④ 直线AB（y=-x + 3√2）与直线DE（y=x - 2α）的交点即为E点,解方程组,求得E点坐标为E（3/√2+α,3/√2-α）.

⑤ 根据两点间距离公式,可知,PE=3,故得到一般的证明方法,PE是定值,且值为3.

（3）这道题比较简单.由第2问,我们已经知道,P点和D点坐标的关系,所以：

过P点作直线垂直于X轴,交X轴与P',即PP'⊥OD.所以OP' :PP' = tan(45°/2) = α/（3√2 - α）.【记为方程①】

我们知道tan45°=1,由此很自然的就会想到正切的倍角公式,为了方便书写记45°/2为γ,所以tan45°=1=2tanγ/(1-tanγ^2),可以推出（1+tanγ）^2=2,我们知道tanγ是正数,排除负值,解得tanγ = tan(45°/2) = -(1-√2).

解方程①,可求得2α = -6 + 6√2,所以D点坐标为（-6 + 6√2,0）.

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