解题思路：（Ⅰ）证明：连结A1B，交AB1与O，连结OD，O，D均为中点，推断出A1C∥OD，
进而根据线面平行的判定定理得出A1C∥平面AB1D．
（Ⅱ）利用A1C∥OD，推断出∠ODB1为异面直线A1C与BD所成角，令正三棱柱的棱长为1，则DB1，OB1，OD均可求得，利用余弦定理求得cos∠ODB1即可得到答案．
（Ⅲ）：依据在正三棱柱ABC-A1B1C1中，BC=BB1，推断出四边形BCC1B1是正方形，通过M为CC1的中点，D是BC的中点，推断出△B1BD≌△BCM，得出∠BB1D=∠CBM，∠BDB1=∠CMB，通过∠BB1D+∠BDB1=[π/2]求得∠CBM+∠BDB1=[π/2]，进而判断出BM⊥B1D，通过△ABC是正三角形，D是BC的中点，推断出AD⊥BC，利用线面垂直的判定定理推断出AD⊥平面BB1C1C，进而根据线面垂直的性质求得AD⊥BM，进而推断出BM⊥平面AB1D，利用线面垂直的性质可推断出MB⊥AB1．
（Ⅰ）证明：连结A1B，交AB1与O，连结OD，
∵O，D均为中点，
∴A1C∥OD，
∵A1C⊄平面AB1D，OD⊂平面AB1D，
∴A1C∥平面AB1D．
（Ⅱ）∵A1C∥OD，
∴∠ODB1为异面直线A1C与BD所成角，
令正三棱柱的棱长为1，则DB1=[5/2]，OB1=
2
2，OD=[1/2]AC=
2
2，
在△ODB1中，cos∠ODB1=
O
B21+D
B21−OD2
2OB1•DB1=
10
4，
∴异面直线A1C与B1D所成焦的余弦值为
10
4．
（Ⅲ）证明：∵在正三棱柱ABC-A1B1C1中，BC=BB1，
∴四边形BCC1B1是正方形，
∵M为CC1的中点，D是BC的中点，
∴△B1BD≌△BCM，
∴∠BB1D=∠CBM，∠BDB1=∠CMB，
∵∠BB1D+∠BDB1=[π/2]
∴∠CBM+∠BDB1=[π/2]，
∴BM⊥B1D，
∵△ABC是正三角形，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵平面ABC⊥平面BB1C1C，平面ABC∩平面BB1C1C=BC，AD⊂平面ABC，
∴AD⊥平面BB1C1C，
∵BM⊂平面BB1C1C，
∴AD⊥BM，
∵AD∩B1D，
∴BM⊥平面AB1D，
∵AB1⊂平面AB1D，
∴MB⊥AB1．
点评：
本题考点： 直线与平面平行的判定；异面直线及其所成的角．
考点点评： 本题主要考查了线面平行，线面垂直的性质和判定定理．立体几何在求二面角的时候，常转化为平面几何的问题易于解决．
