已知数列{an}满足an=2an-1+1（n≥2）且a1=1，bn=log2（a2n+1+1），cn＝1b2n−1．求证
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解题思路：（Ⅰ）把已知的等式an=2an-1+1变形，得到an+1=2（an-1+1），同时求出当n=2时得到a2+1=2（a1+1），将a1的值代入求出a2+1的值，确定出数列{an+1}以2为首项，2为公比的等比数列，表示出等比数列的通项公式，可得出an的通项公式；
（Ⅱ）确定数列{cn}的通项，利用裂项法求和，即可得出结论．
证明：（Ⅰ）∵an=2an-1+1，
∴an+1=2（an-1+1），
令n=2得：a2+1=2（a1+1），又a1=1，
∴a2+1=4，a1+1=2，
∴数列{an+1}以2为首项，2为公比的等比数列，
则通项公式为an+1=2n，即an=2n-1，…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn=log2（a2n+1+1）=2n+1，cn＝
1
b2n−1=[1/4]（[1/n]-[1/n+1]），
所以Sn=[1/4][（1-[1/2]）+（[1/2]-[1/3]）+…+（[1/n]-[1/n+1]）]=[1/4]（1-[1/n+1]）＜[1/4]．…（12分）
点评：
本题考点： 数列递推式；数列的求和．
考点点评： 此题考查了等比数列的性质，等比数列的通项公式，以及等比数列的确定，考查裂项法求和，熟练掌握等比数列的性质是解本题的关键．
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