已知函数f(x)＝lnaxx(a＞0，a∈R)，e为自然对数的底，
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解题思路：（1）利用导数研究函数的单调性，根据单调性求函数的极值，从而求得函数的最值．
（2）由（1）可得f（x）在x=[e/2]处取得最大值，条件等价于
ln2x
x
＝
x
2
−ex+m＝
(x−
e
2
)
2
+m−
e
2
4
有2个不同的解，结合图象可知
m−
e
2
4
＜
2
e
，由此求得m的范围．
（1）a＞0，定义域为（0，+∞），f′(x)＝
1−lnax
x2，
令f′（x）=0，解得x＝
e
a，当x∈(0，
e
a)时，f′（x）＞0．
当x∈(
e
a，+∞)时，f′（x）＜0，所以fmax(x)＝f(
e
a)＝
a
e．
（2）由（1）可知f(x)＝
ln2x
x在x＝
e
2时，取得最大值[2/e]，ln2x＝x3−ex2+mx⇔
ln2x
x＝x2−ex+m＝(x−
e
2)2+m−
e2
4，要让方程有两个不同解，
结合图象可知：m−
e2
4＜
2
e，解得m＜
2
e+
e2
4．
点评：
本题考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；对数函数图象与性质的综合应用．
考点点评： 本题主要考查对数函数的图象和性质综合应用，利用导数求函数的极值，属于中档题．
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