已知a∈R,函数f(x)=(-x2+ax)ex(x∈R,e为自然对数的底数).
(Ⅰ)当a=2时,求函数f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)若函数f(x)在(-1,1)上单调递增,求a的取值范围.
解题思路:(Ⅰ)求导函数,令f′(x)>0,可得f(x)的单调递增区间;
(Ⅱ)f′(x)=[-x2+(a-2)x+a]ex,若f(x)在(-1,1)内单调递增,即当-1<x<1时,f′(x)≥0,即-x2+(a-2)x+a≥0对x∈(-1,1)恒成立,分离参数求最值,即可求a的取值范围.
(Ⅰ)当a=2时,f(x)=(-x2+2x)ex,f′(x)=-(x2-2)ex
令f′(x)>0,得x2-2<0,∴-
2<x<
2
∴f(x)的单调递增区间是(-
2,
2);
(Ⅱ)f′(x)=[-x2+(a-2)x+a]ex,若f(x)在(-1,1)内单调递增,即当-1<x<1时,f′(x)≥0,
即-x2+(a-2)x+a≥0对x∈(-1,1)恒成立,
即a≥x+1−
1
x+1对x∈(-1,1)恒成立,
令y=x+1−
1
x+1,则y′=1+
1
(x+1)2>0
∴y=x+1−
1
x+1在(-1,1)上单调递增,∴y<1+1-[1/1+1]=[3/2]
∴a≥
3
2
当a=[3/2]时,当且仅当x=0时,f′(x)=0
∴a的取值范围是[[3/2],+∞).
点评:
本题考点: 利用导数研究函数的单调性;函数的单调性与导数的关系.
考点点评: 本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
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