已知a∈R,函数f(x)=(-x2+ax)ex(x∈R,e为自然对数的底数).
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解题思路:(Ⅰ)求导函数,令f′(x)>0,可得f(x)的单调递增区间;

(Ⅱ)f′(x)=[-x2+(a-2)x+a]ex,若f(x)在(-1,1)内单调递增,即当-1<x<1时,f′(x)≥0,即-x2+(a-2)x+a≥0对x∈(-1,1)恒成立,分离参数求最值,即可求a的取值范围.

(Ⅰ)当a=2时,f(x)=(-x2+2x)ex,f′(x)=-(x2-2)ex

令f′(x)>0,得x2-2<0,∴-

2<x<

2

∴f(x)的单调递增区间是(-

2,

2);

(Ⅱ)f′(x)=[-x2+(a-2)x+a]ex,若f(x)在(-1,1)内单调递增,即当-1<x<1时,f′(x)≥0,

即-x2+(a-2)x+a≥0对x∈(-1,1)恒成立,

即a≥x+1−

1

x+1对x∈(-1,1)恒成立,

令y=x+1−

1

x+1,则y′=1+

1

(x+1)2>0

∴y=x+1−

1

x+1在(-1,1)上单调递增,∴y<1+1-[1/1+1]=[3/2]

∴a≥

3

2

当a=[3/2]时,当且仅当x=0时,f′(x)=0

∴a的取值范围是[[3/2],+∞).

点评:

本题考点: 利用导数研究函数的单调性;函数的单调性与导数的关系.

考点点评: 本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.