本人已经尝试过几种换元,如把x换成tant,x+1/x整体换元等,均未果,望给出过程,
4个回答

利用对称性

先分成两份

=∫[-∞,0](x+1/x)/[(x+1/x)^2+2] dx

+∫[0,∞](x+1/x)/[(x+1/x)^2+2] dx

第一个用y=-x替换,dx=-dy,上下限加负号

=∫[∞,0](-y-1/y)/[(-y-1/y)^2+2] (-dy)

+∫[0,∞](x+1/x)/[(x+1/x)^2+2] dx

=∫[∞,0](y+1/y)/[(y+1/y)^2+2] dy

+∫[0,∞](x+1/x)/[(x+1/x)^2+2] dx

第一个积分用x替代y

=∫[∞,0](x+1/x)/[(x+1/x)^2+2] dx

+∫[0,∞](x+1/x)/[(x+1/x)^2+2] dx

=-∫[0,∞](x+1/x)/[(x+1/x)^2+2] dx (交换上下限,变符号)

+∫[0,∞](x+1/x)/[(x+1/x)^2+2] dx

=0

相关问题