设f（x）=e x （ax 2 +x+1）．
1个回答

（Ⅰ）f′（x）=e x（ax 2+x+1）+e x（2ax+1）=e x[ax 2+（2a+1）x+2]= a e x (x+

1

a )(x+2) ．

（i）当 a=

1

2 时， f ′ (x)=

1

2 e x (x+2 ) 2 ≥0 恒成立，∴函数f（x）在R上单调递增．

（ii）当 0＜a＜

1

2 时，则

1

a ＞2 ，即 -

1

a ＜-2 ．

由f′（x）＞0，解得 x＞-2或x＜-

1

a ；当f′（x）＜0时，解得 -

1

a ＜x＜-2 ．

∴函数f（x）在区间 (-∞，-

1

a ) 和（-2，+∞）上单调递增；在 (-

1

a ，-2) 上单调递减．

（iii）当 a＞

1

2 时，则

1

a ＜2 ，即 -

1

a ＞-2 ．

由f′（x）＞0，解得 x＞-

1

a 或x＜-2 ；由f′（x）＜0，解得 -2＜x＜-

1

a ．

∴函数f（x）在区间（-∞，-2）和（-

1

a ，+∞）上单调递增；在 (-2，-

1

a ) 上单调递减．

（Ⅱ）∵当x=1时，f（x）有极值，∴f′（1）=0．∴ 3ae(1+

1

a )=0 ，解得a=-1．

∴f（x）=e x（-x 2+x+1），f′（x）=-e x（x-1）（x+2）．

令f′（x）＞0，解得-2＜x＜1，∴f（x）在[-2，1]上单调递增，

∵sinθ，cosθ∈[0，1]，∴|f（sinθ）-f（cosθ）|≤f（1）-f（0）=e-1＜2．

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