高一数学几何（求思路）四面体ABCD各棱长相等,已知E、F是其某两个面的重心,且四面体ABCD的体积为72,则线段EF的

高一数学几何（求思路）

四面体ABCD各棱长相等,已知E、F是其某两个面的重心,且四面体ABCD的体积为72,则线段EF的长是?

2又根号2

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正四面体的任何一个面都为等边三角形,过E或F与共面任一顶点的连线同时是角平分线、对边垂直平分线.

设E为ACD面、F为BCD面重心,分别连接并延长AE,BF交DC于M、N.四面体棱长为a.

在三角形ACD、BCD中,公用的边DC的中点是唯一的,所以AE,BF延长线一定相交,即M,N为同一点.同时,AM=BM=a*3^(1/2)/2,EM=FM=AM/3

AMB、EMF均为等腰三角形

且等腰三角形AMB相似于EMF

AM/EM=EF/AB

EF=a/3

体积V=S*h/3=72

S=DC*AM/2=a*a*3^(1/2)/2/2=a^2*3^(1/2)/4

h=(AM^2-FM^2)^（1/2）=...（勾股定理）

求出a

=>EF=a/3

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