设a是实数，f(x)＝a−21+2x(x∈R)
1个回答
解题思路：（1）由奇函数的性质可得f（0）=0，代入数据解关于a的方程可得；
（2）设x1，x2∈R，x1＜x2，作差可判f（x1）＜f（x2），由单调性的定义可得．
（1）由题意可得x∈R，函数为奇函数必有f（0）=0
代入数据可得a−
2
1+20=0，解得a=1
（2）证明：设x1，x2∈R，x1＜x2，
作差可得f(x1)−f(x2)＝(a−
2
2x1+1)−(a−
2
2x2+1)
=
2
2x2+1−
2
2x1+1＝
2(2x1−2x2)
(2x1+1)(2x2+1)，
由于指数函数y=2x在R上是增函数，且x1＜x2，
∴2x1＜2x2，
即2x1−2x2＜0，
又由2x＞0，得2x1+1＞0，2x2+1＞0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），
∴对于任意a，f（x）在R上为增函数．
点评：
本题考点： 函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明．
考点点评： 本题考查函数的奇偶性和单调性，涉及定义法证明函数的单调性，属基础题．
相关问题
